URLでリンクしているYouTube動画の場合は、URLの最後に「#t=XXmYYs」を付けると、「XX分ＹＹ秒」の位置から再生を開始する事ができます。以下の例では、1分36秒の位置から再生を開始しています。尚、この例では、「_popup」でブラウザ内で全画面表示をする様にしています。
https://www.youtube.com/watch_popup?v=mUlj6vwwn7E#t=1m36s
この時間指定をサポートしてくれるサイトがありました。動画のURLと、再生開始時間を入力すると、「#t=XXmYYs」が付いたURLを教えてくれます。それほど便利と思いませんが、どうでしょうか？
・A way to link to a specific part of a youtube video
